Определить размер наращенной суммы по кредиту. Сложные проценты в MS EXCEL

Контрольное домашнее задание по финансовой математике

1. Определите наращенную сумму вклада в 3 тыс. руб. при сроке вклада 2 года по номинальной процентной ставке 40% годовых. Начисление процентов производится: а) один раз в год, б) по полугодиям, в) поквартально, г) ежемесячно

Наращенная сумма к концу срока вклада определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов в году;

n - срок депозита (в годах);

Указанная в депозитном договоре ставка годовых процентов (номинальная ставка).

Принятая в банках ставка процента за интервал начисления.

а) один раз в год:

(тыс.руб.)

б) по полугодиям

• (тыс.руб.)
• в) поквартально,

• (тыс.руб.)
• г) ежемесячно.

• (тыс.руб.)
• 2. Банк принимает вклады от населения по номинальной процентной ставке 12% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Вклад 1200$ был изъят через 102 дня. Определите доход клиента

Для расчета продолжительности финансовой операции принимаем точное количество дней в году. Продолжительность финансовой операции определяется по формуле:

где t - фактическое количество дней по финансовой операции.

n - срок депозита (в годах).

3. Для строительства завода банк предоставил фирме кредит в 200 тыс.$ сроком на 10 лет из расчета 13% годовых. Проведите расчет коэффициента наращения, суммы начисленных процентов и стоимости кредита на конец каждого года

Простые проценты:

Коэффициент наращения простых процентов определяется по формуле:

где

где S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 1 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel - Приложение А, задача 3).

Таблица 1. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

Сложные проценты:

Коэффициент наращения определяется по формуле:

i - номинальная процентная ставка.

Сумма процента рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Стоимость кредита в конце периода:

где S n - стоимость кредита (наращенная стоимость);

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 2 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel).

Таблица 2. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

4. Фирме предоставлен льготный кредит в 50 тыс. $ на 3 года под 12% годовых. Проценты на кредит начисляются один раз в год. По условиям договора фирма имеет право оплатить кредит и проценты единым платежом в конце трехлетнего периода. Сколько должна заплатить фирма при расчете по простым и сложным процентам?

Простые проценты:

Сумма простых процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

Сумма начисленных сложных процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита,

n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

5. Производственно-коммерческая фирма получила кредит в 900 тыс. руб. сроком на 3 года. Проценты - сложные. Процентная ставка за первый год 40% и каждый последующий год увеличивается на 5%. Определите сумму возврата кредита

Сумма возврата кредита определяется по формуле:

где S n - сумма возврата кредита на конец периода;

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

По условию процентная ставка растет на 5 %:

Сумма возврата кредита на 3-й год составит:

6. Определите период времени, необходимый для удвоения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 12% годовых. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

«Правило 70» и «Правило 100» позволяют ответить на вопрос, за сколько лет удвоится капитала при ставки процента i.

Простые проценты («правило 100»):

i - ставка процента.

где Т - период, за который удвоится капитал;

i - ставка процента.

7. Определите период времени, необходимый для утроения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 48% годовых. В последнем случае начисление процентов квартальное

Простые проценты при утроении капитала:

Сложные проценты при утроении капитала:

8. Сколько времени нужно хранить вклад в банке под 84% годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов, чтобы сумма вклада удвоилась. Методика расчета банковская

Сложные проценты («правило 70»):

где Т - период, за который удвоится капитал;

m - периодичность начисления процентов;

i - ставка процента.

• - ежемесячное начисление: лет.
• - поквартальное начисление: лет.

• - полугодовое начисление: лет.
• 9. Клиент внес на депозит сроком на 4 месяца 1600$. Начисление процентов ежемесячное. После окончания срока он получил 1732$. Определите процентную ставку банка

Для определения процентной ставки банка применяется формула наращения денежных средств методом сложных процентов:

j - фактическое число периодов начисления процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

Отсюда процентная ставка банка рассчитывается по формуле:

Процентная ставка банка составит:

10. Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно

Минимальная процентная ставка определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Sm - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

a) поквартальное начисление процентов:

b) ежемесячное начисление процентов:

11. "Приорбанк" предлагал населению на 1996 г. денежный вклад. Доход по нему составил за первые 2 месяца 72% годовых, за следующие 2 месяца -84, за 5 месяцев - 96, за 6 месяцев - 108% годовых. Определите эффективную процентную ставку при размещении денег на 6 месяцев под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

Эффективная ставка процента - ставка, отражающая реальный доход от коммерческой сделки).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по простым процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по сложным процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

12. Реклама одного коммерческого банка предлагает 84% годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 88% годовых при поквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада - 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?

Выбор между коммерческими банками будет зависеть от коэффициента наращения.

Коэффициент наращения сложных процентов определяется по формуле:

где n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Предпочтение Банку 1.

13. Сопоставьте условия четырех банков: а) проценты простые и процентная ставка 48%; b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное; d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное

Для определения наиболее выгодного варианта необходимо сопоставить предлагаемые условия (все расчеты проводятся для периода равного 1 год).

a) проценты простые и процентная ставка 48%.

Коэффициент наращения простых процентов: .

b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям.

c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

В таблице 3 сопоставлены условия для вкладчика, заемщика и банка (кредитора).

Таблица 3

14. Клиент разместил вклад в 100 тыс. руб. на срочный депозит сроком 8 месяцев. Начисление процентов ежемесячное, под номинальную процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную сумму и эффективную процентную ставку

Наращенная сумма депозита определяется по формуле сложного процента:

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

15. Предприятие получило кредит на 3 года под номинальную процентную ставку 40% годовых. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку при начислении процентов: а) один раз в год, б) поквартально, в) ежемесячно

Эффективная ставка определяется путем приравнивания будущих стоимостей без учета и с учетом комиссионных:

где m - количество начислений процентов;

n - срок кредита (в годах);

S - величина кредита;

Номинальная процентная ставка банка;

Сумма по уплате комиссии банку.

где h - комиссия банка.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

• - один раз в год: ;
• -поквартально: ;

• - ежемесячно: .
• 16. Предприятие получило кредит на 3 года под годовую процентную ставку 48%. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку кредита, если: а) кредит получен под простые проценты, b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год, c) при ежемесячном начислении процентов

a) кредит получен под простые проценты

b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год:

c) кредит получен под сложные проценты при ежемесячном начислении процентов:

17. Фирма получила кредит в 40 тыс. руб. на один месяц под годовую процентную ставку 12%. Проценты простые. Месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите месячную процентную ставку с учетом инфляции, наращенную сумму и процентные деньги

Процентная ставка банка в месяц составляет:

Процентная ставка банка в месяц с учетом инфляции:

где i р - реальная ставка банка с учетом инфляции;

i - номинальная ставка банка;

n - число лет;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма кредита определяется по формуле простого процента:

депозит кредит банк доход

18. Фирма обратилась в банк за кредитом в 100 тыс. руб. сроком на один месяц. Банк выделяет такие кредиты под простую годовую процентную ставку 24% без учета инфляции. Месячные уровни инфляции за три предыдущие месяца: 1,8%; 2,4; 2,6%. Кредит выделен с учетом среднего уровня инфляции за три указанных месяца. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции, сумму возврата, дисконт банка

Уровень инфляции за три месяца:

Средний уровень инфляции в месяц:

Наращенная сумма возврата:

Процентные выплаты составят: руб.

19. Банк выдал клиенту кредит на 3 месяца. Сумма кредита - 24 тыс. руб. Банк требует, чтобы реальная ставка доходности была 12% годовых. Прогнозируемый средний месячный уровень инфляции - 3,6%. Определите простую процентную ставку банка, наращенную сумму

Уровень инфляции за год:

Темп инфляции составит: или 53%.

Процентная ставка кредита с учетом инфляции:

r - реальная ставка доходности;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма возврата:

20. Фирма взяла кредит в коммерческом банке на два месяца под процентную ставку 30% годовых (без учета инфляции). Предполагаемый средний месячный уровень инфляции - 2%. Определите процентную ставку кредита с учетом инфляции и коэффициент наращения

Уровень инфляции за год:

Процентная ставка кредита (формула Фишера):

Коэффициент наращения сложных процентов:

Коэффициент наращения простых процентов:

21. Кредит в 500 тыс. руб., получен сроком на один год под номинальную процентную ставку 18% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Ожидаемый среднемесячный уровень инфляции - 3%. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции и наращенную сумму

Темп инфляции за год рассчитывается по формуле:

Определим процентную ставку банка с учетом инфляции:

Наращенная сумма:

22. Месячные уровни инфляции ожидаются на уровне 3%. Определите истинную процентную ставку доходности годового вклада, если банки принимают вклады под номинальные процентные ставки 40%, 50%, 60%. Проценты сложные и начисляются ежемесячно.

Уровень инфляции за год:

или 42,58% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 40%:

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 50%:

23. Средний месячный уровень инфляции с января по июнь 1997 г. - 5,9%. Какой должна быть годовая процентная ставка банка по депозитам, чтобы обеспечить реальную доходность вкладов 12% годовых. Проценты сложные и начисляются ежемесячно

Номинальная процентная ставка по депозит определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r- реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

24. Коммерческий банк принимал вклады от населения в первой половине 1997 г. под процентную ставку 54% годовых. Проценты начисляются ежемесячно. Средний месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите реальную процентную ставку доходности

Реальная процентная ставка доходности определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r - реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

Происходит обесценивание вклада на 14,77%.

25. Коммерческие банки принимают вклады от населения "до востребования" под 60% годовых с ежемесячной капитализацией процентов. Определите истинную процентную ставку банка с учетом инфляции, наращенную сумму и доходность клиента от вклада в 3 тыс. руб. по истечении 1 года, если средний уровень инфляции 3,5%.

Уровень инфляции за год:

или 51,11% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

m - количество начислений процентов.

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 60%:

Наращенная сумма депозита с ежемесячной капитализацией процентов определяется по формуле:

где S n - сумма депозита в конце периода;

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

Истинная процентная ставка.

Доход вкладчика к концу срока составит:

где I n - доход вкладчика за период n;

n - срок депозита (в годах).

26. Рассчитайте NPV для инвестиционного проекта со следующим денежным потоком для ставки сравнения 15% годовых.

Таблица 3

Решение:

Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта определяется по формуле:

где CF t -- денежный приток (отток) за период t;

r -- ставка сравнения;

n -- жизненный цикл проекта.

В таблице 4 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 4

Значение NPV для инвестиционного проекта получили отрицательное. Значит проект следует отвергнуть.

27. Найдите внутреннюю норму доходности (IRR) для инвестиционного проекта со следующим регулярным денежным потоком (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

Внутренняя норма доходности IRR -- это ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю.

В таблице 5 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 5

Внутренняя норма доходности составляет 19%.

28. Сравните инвестиционные проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), если годовая ставка процентов составляет: а) 10 % годовых; б) 15 % годовых; в) 20 % годовых.

Представленные инвестиционные проекты характеризуют собой типичный инвестиционный поток, в отрицательные платежи предшествуют положительным.

В таблице 6 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Таблица 6

В таблице 7 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Таблица 7

При ставке 10% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), т.к. NPV=66,96 PI=0,34, период окупаемости составляет 2,91

При ставке 15% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, период окупаемости составляет 5,73

При ставке 20% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, период окупаемости 57,71.

Список литературы

• 1. Задачи по финансовой математике: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2016 - 286 с.
• 2. Катаргин Н.В. Методы финансовых расчётов: Тексты лекций / Н.В. Катаргин - М.: Финансовый университет, кафедра «Системный анализ и Моделирование экономических процессов», 2016. - 124 с.
• 3. Кузнецов С.Б. Финансовая математика: учебное пособие / С.Б. Кузнецов; РАНХиГС, Сиб. ин-т управления - Новосибирск: Изд-во СибАГС - 2014 - 263с.
• 4. Печенежская И.А. Финансовая математика: сборник задач / И.А. Печенежская - Ростов н/Д: Феникс, 2010 - 188 с.
• 5. Финансовая математика: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2012 - 224 с.

где FVA – наращенная сумма ренты;

R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;

i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;

n – срок ренты в годах,

s n;i – коэффициент наращения ренты.

Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами, содержащими коэффициенты наращения ренты:

FVA = R s 5 ; 30 = 500 9,0431 = 4"521,55 руб.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n R = 5 500 = 2"500 руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4"521,55 - 2"500 = 2"021,55 руб.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2"021,55 руб.

Для овладения методами финансовой математики важно не столько запоминание формул, сколько общих принципов расчета.

Для определения наращенной суммы на конец рассматриваемого периода последовательно присоединяются промежуточные результаты наращения к очередному платежу.

Рассмотрим поэтапное решение предыдущего примера:

Расчет наращенной величины аннуитета

* Взносы поступают в конце периода.

Таким образом, получается такая же сумма, как и по формуле наращения аннуитета.

Однако рассматриваемая формула используется только при начислении процентов один раз в год, но возможны случаи и неоднократного начисления процентов в течение года, тогда используют следующую формулу:

Отсюда сумма начисленных процентов будет равна:

I = FVA - P = 4"840,76 - 2"500,00 = 2"340,76 руб.

Как видим, переход от годового начисления процентов к ежеквартальному начислению заметно увеличил как наращенную сумму, так и сумму процентов.

Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.

ВАРИАНТ 9

РЕШЕНИЕ.

n - срок ссуды.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

FV=2000+300=2300 руб.

РЕШЕНИЕ.

Множитель наращения: .

РЕШЕНИЕ.

S = P (1 + n∙i),

РЕШЕНИЕ.

.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

РЕШЕНИЕ.

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

РЕШЕНИЕ.

РЕШЕНИЕ .

Ответ: 2109 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем дисконтированный множитель:

Рассчитаем дисконт по точным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000*1/(1+0,3)*120/365=50580руб.

Рассчитаем дисконт по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000-200000*(1+0,3*120/365)= 19726 руб.

Ответ: 50580 руб., 19726 руб.

Задача 3.2.2. Определить сумму, которую необходимо положить в банк, чтобы при начислении на нее процентов по сложной процентной ставке – 30% годовых, получить через 3 года наращенную сумму в размере 200000 р., а также сумму дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

где d c - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

Р=200000*(1-0,3) 3 =68600 руб.

D=200000-68600=131400 руб.

Ответ: 131400 руб.

Задача 3.2.3. Вексель выдан на 200000 р. с уплатой 20.09. Владелец векселя учел его в банке 120 дней по учетной процентной ставке – 30 %. Определить сумму, которую получит держатель векселя, если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды, а также суммы дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Учетная ставка рассчи­тывается отношением наращения (F-P) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F.

Определим сумму, которую получит держатель векселя по формулам:

Где P-

F

n-

d- простаяучетная ставка;

t -

Т- количество дней в году.

а) если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/365*0,3)=221884 руб.

Сумма дисконта:

D=221884-200000=21884 руб.

б) если проценты начисляются обыкновенные с приближенным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/360*0,3)= 222222 руб.

Сумма дисконта:

D=222222-200000=22222 руб.

Ответ: 221884 руб., 21884 руб., 222222руб.,22222 руб.

Задача 3.2.4. Предприятие предоставило покупателю отсрочку платежа сроком на 3 года и учло платежное обязательство на сумму 200000 р. в банке по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую получит на руки держатель платежного обязательства.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем сумму, которую получит держатель платежного обязательства по формуле:

Где P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);

F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n- количество периодов продолжительности финансовой операции;

d- простаяучетная ставка;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т- количество дней в году.

Р=200000*(1-0,3*3*365/365)=20000 руб.

Ответ: 20000 руб.

РЕШЕНИЕ.

При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

Где S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;

t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;

K – количество дней в календарном году (365 или 366);

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Рассчитаем количество дней начисления процентов:

50000=2000+(2000*0,3t)

Ответ:80 дней.

Задача 3.3.2. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Формула для расчета наращенной суммы вклада по методу простых процентов имеет вид:

К н =К о *(1+р*n),

Где К н -наращенная сумма по вкладу;

К о -первоначальная сумма вклада;

р-проценты по вкладу;

n- количество лет начисления процентов.

Рассчитаем количество лет начисления процентов:

50000=2000*(1+0,3*n)

Ответ: 80 дней

Задача 3.3.3. Первоначальная сумма в размере 2000 р. будет вложена на депозитный счет под 30 % годовых. Определить через какой срок наращенная стоимость этой первоначальной суммы составит 50000 р.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма рассчитывается используя формулу:

где Р – сумма вклада;

i – процентная ставка;

d – количество дней.

Рассчитаем срок вклада:

50000=2000*0,3*d

Ответ: 83 дня.

Задача 3.3.4. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Определим доход:

I= 50000 – 2000=48000руб.

S - наращенный капитал

P - первоначальный капитал

Теперь определим срок вклада:

d=100*48000/(30*2000)=80 дней

Ответ: 80 дней.

3.4. Определение наращенной и дисконтированной стоимости финансовой ренты (аннуитета).

Задача 3.4.1. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в конце каждого года платеж в размере 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4 года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

Расчет наращенной суммы выполним по формуле:

F = P*(1 + n * d)

F =2000*(1+0,3*4*365/365) =4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.4.2. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в начале каждого года 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

i – годовая процентная ставка;

S = 2000* (1 + 0,3 * 3*365/365) = 3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

Задача 3.4.3.Страховая компания заключает договор с предприятием на 4 года. Страховые взносы предприятия в размере 2000 р. страховая компания помещает в банк под 30% годовых с полугодовой капитализацией. Определить сумму, которую получит страховая компания.

РЕШЕНИЕ.

Вычисления произведем по следующей формуле:

где S – наращенная стоимость кредита;

P – настоящая стоимость кредита;

i – годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов в годах.

S = 2000* (1 + 0,3 * 0,5*4*365/365) = 3200 руб.

Ответ: 3200 руб.

Задача 3.4.4. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в конце каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

S = P*
,

где

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 3)= 5831 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=5831-2000=3831 руб.

Ответ: 3831 руб.

Задача 3.4.5. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в начале каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

Таким образом, в общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:

S = P*
,

где
- коэффициент наращения при вычислении сложных процентов;

d – учетная ставка сложных процентов;

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 2)= 4082 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=4082-2000=2082 руб.

Ответ: 2082 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Предположим, что создание погасительного фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно про­исходит начисление процентов на величину долга по ставке g. При начислении на величи­ну долга простых процентов срочная уплата будет равна:

где -срочная уплата в период t;

D- величина долга.

При начислении на величину долга сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле:

где - процентный платеж, исчисленный по сложным процентам.

Величину для расчетного периода вычисляют по формуле:

g - процентная ставка, начисляемая на основной долг.

Подставив значение получим:

200000=(1+0,26) 2 *0,26/R

200000=1,58*0,26/R

0,26/R=126582 руб.

Ответ: 32911 руб.

Задача 3.5.6. Определить размер ежегодного платежа, вносимого в начале года в течение трех лет, для формирования страхового фонда в размере 200000 р., если размер сложной процентной ставки – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

200000=(1+0,3) 3 *0,3/R

200000=2,197*0,3/R

R=131820 руб.

Ответ: 131820 руб.

Задача 3.5.7. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в конце года.

РЕШЕНИЕ.

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 4)=924 руб.

Ответ: 924 руб.

Задача 3.5.8. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в начале года.

РЕШЕНИЕ.

Размер ежегодных погасительных платежей:

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 3)=1101 руб.

Ответ: 1101 руб.

Задача 3.5.9. Предприятие ежегодно в конце года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*n)

Ответ: 38 дней.

Задача 3.5.10 Предприятие ежегодно в начале года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Ссудная процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*(n-1))

Ответ: 37дней.

Задача 3.5.11. Предприятие планирует взять кредит в размере 1000000 р. под годовую процентную ставку равную 30 %. Ежегодный платеж в конце года составит 20000 р. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой будет возвращена вся сумма кредита.

РЕШЕНИЕ.

Поскольку проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо- это обычная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

FVA=R*((1+i*n)-1)/i

1000000=20000*((1+0,3*n)-1)/0,3

Ответ: 50 дней.

ВАРИАНТ 9

Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов.

Задача 3.1.1. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма в размере 2000 р. была помещена на депозитный счет на период 0,5 лет под 30 % годовых. Наращение осуществляется по простой ссудной процентной ставке.

РЕШЕНИЕ.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:

I - проценты за весь срок ссуды;

РV - первоначальная сумма долга;

FV - наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i - ставка наращения процентов (десятичная дробь);

n - срок ссуды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку.

Соответственно каждый год приносит проценты в сумме: Pv×i.

Начисленные за весь срок проценты составят: I = PV×ni.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

Наращенная сумма, таким образом, находится по формуле:

FV = РV + I = РV + PV×ni = РV(1 + ni).

FV=2000+300=2300 руб.

Ответ: Наращенная сумма составляет 2300 руб.

Задача 3.1.2. Определить наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя, если ссуда выдается на 0,5 лет в размере 2000 р. Наращение осуществляется по простым процентам по учетной ставке ‒ 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга:

Множитель наращения: .

S=2000*1/(1-0,5*0,3)= 2353 руб.

Ответ: Наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя равна 2353 руб.

Задача 3.1.3. Кредит в размере 2000 р. выдан с 22.03 по 14.11. включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

В нашем случае для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S:

S = P (1 + n∙i),

где 1 + n∙i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest).

В нашем случае срок финансового соглашения n измеряется не в годах, а в днях t, то в (1) в качестве n следует взять, где K - так называемая временная база, т.е. число дней в году, K =360,365(366).

Если временная база K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в формуле используют обыкновенные, или коммерческие проценты.

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант
(K = 365(366)) дает самые точные результаты.

S = 2000*(1+0,3*238/365) =2391 руб.

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод (K = 360), иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков. Он дает несколько больший результат, чем предыдущий метод.

S = 2000*(1+0,3*238/360) = 2397 руб.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 2000*(1+0,3*235/360) =2392 руб.

Ответ: 2391 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.4. Кредит в размере 2000 р. выдан 22.03 по 14.11 включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

При расчете обычно полагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К = 360 дней, проценты называются обыкновенными. В этом случае формула примет вид:

.

При использовании действительной продолжительности года 365(366) получают точные проценты и в этом случае формула примет вид:

а) Точные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/365*0,3)= 2391 руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/360*0,3)=2397 руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S=2000*(1+235/360*0,3)=2392 руб.

Ответ: 23945 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.5. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Определить наращенную сумму по сложным процентам через 4 года.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

S = 2000*(1 + 0,3) 4 = 5712 руб.

Ответ: Наращенная сумма по сложным процентам составит 5712 руб.

Задача 3.1.6. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была выдана в долг на 4 года. Определить наращенную сумму, которая должна быть возвращена через 4. года, если начисление процентов осуществляет по учетной ставке 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма, которая должна быть возвращена через 4 года:

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.1.7. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена на депозитный вклад 1 апреля на квартал под 30% годовых. Согласно условиям контракта предусмотрено ежедневное начисление простых процентов. Определить наращенную сумму, используя начисление точных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

Простые проценты считаются по такой формуле:

а) расчет наращенной суммы по точным процентам с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/365)=2148 руб.

б) Расчет обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/360)=2150 руб.

в) расчет обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*80/360)=2133 руб.

Ответ: 2148 руб., 2150 руб., 2133 руб.

Задача 3.1.8. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Согласно контракту предусмотрено ежедневное начисление сложных процентов. Определить наращенную сумму через 4 года.

РЕШЕНИЕ .

Расчет сложных процентов производится по следующей формуле:

Для вкладов со сложным процентом важной часть является периодичность начисления процентов.

В=2000*(1+0,3/90) 16 =2109 руб.

Ответ: 2109 руб.

Задача 3.1.9. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый квартал ‒ 30 % годовых; в каждом следующем квартале ставка повышается на 0,4%. Определить наращенную сумму, если контракт подписан на одни год, а первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,4*0,34 + 0,4*0,38 + 0,4*0,42 = 1,756 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,756 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

Задача 3.1.10. Контракт подписан на 4 года и предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: 1 год ‒ 30 % годовых; в каждом последующем полугодии процентная ставка увеличивается на 0,05%. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,5*0,35 + 0,5*0,4 + 0,5*0,45 =1,9 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,9 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается ее первоначальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины

Р ; P + Pi = P (1 + i ); Р (1 + i ) + Pi = P(1+ 2i ) и т. д. до Р (1 + ni ).

Первый член этой прогрессии равен Р , разность - Pi, тогда последний член является наращенной суммой

S = P (1 + ni ),

где S – наращенная сумма денег;

Р - первоначальная сумма денег,

i - ставка простых процентов;

Pi - начисленные проценты за один период;

n – число периодов начисления процентов;

Pni – начисленные проценты за п периодов.

Данная формула является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.

Множитель (1 + ni ) называется множителем наращения.Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов

S = P + I ,

где I = Pni – сумма процентов.

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:

1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает одного года;

2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются периодически.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

где п - срок финансовой операции в долях года;

Y - число дней или месяцев в году (временная база) (англ. Year – год);

t - срок операции (ссуды) в днях или месяцах (англ. time – время).

В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:

Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы Y и способом измерения срока финансовой операции.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий процент.В отличие от него точный процентполучают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366, если год високосный.

Определение числа дней финансовой операции также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность финансовой операции определяется числом месяцев и дней операции, приближенно считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата начала и дата окончания операции считается за один день.

Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (прил. 2, 3).

Различные варианты временной базы и методов подсчета дней финансовой операции приводят к следующим схемам расчета процентов, применяемых на практике:

Точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и длительность месяцев точная);

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, в году принимается 360 дней и точная длительность месяцев);

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце).

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то величина процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:

i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .

Процентные ставки не остаются неизменными во времени, в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t , t = 1,…, k ;

п t - продолжительность t периода начисления по ставке i t , i = 1,…, k.

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле

где п 1 , п 2 , п t - продолжительности последовательных периодов реинвестирования

где i 1 , i 2 , …, i t - ставки, по которым производится реинвестирование.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму. В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается дебетовой и кредитовой части счета. Разница состоит только в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа:

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на девизор:

Следовательно, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается следующим образом:

Вычисление ставки доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов осуществляется по формуле:

На практике часто необходимо решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной наращенной сумме, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму. Такой расчет называют дисконтированиемнаращенной суммы.

Величина, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной, или текущей стоимостью, наращенной суммы.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Современная величина денежных средств эквивалентна наращенной суммев том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной наращенной сумме. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением.

Привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу финансовой операции.

Существует два вида дисконтирования:

1. Математическое дисконтирование, которое представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S = P (1 + ni ), то в обратной

Выражение 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем.Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма денег в окончательной величине долга.

Дисконт наращенной суммыравен

D = S - Р ,

где D – дисконт.

2. Банковский (коммерческий) учет. Операция учета, в том числе учета векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

В этом случае современная величина денежных средств находится

P =S (1 - nd ),

где d – учетная процентная ставка.

Множитель (1 - nd ) называется дисконтным множителем.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd .

Простая годовая учетная ставка находится

Дисконтирование по учетной ставке проводится в большинстве случаев при условии, что год равен 360 дням.

Частным случаем является процесс банковского учета, когда срок операции выражен в днях или месяцах:

Учетная ставка может использоваться для наращения:

Операции наращения и дисконтирования противоположны, но они могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Прямая и обратная задачи

Введение. 6

Одноразовые платежи.. 7

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 7

1.2 ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ... 8

1.3 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ... 10

1.3.1 Формула сложных процентов. 10

1.3.2 Определение будущей суммы.. 10

1.3.3 Определение текущей стоимости. Дисконтирование. 11

1.3.4 Определение срока ссуды (вклада) 12

1.3.5 Определение размера процентной ставки. 12

1.3.6 Номинальная и эффективная ставки. 13

1.4 НАЧИСЛЕНИЕ НАЛОГОВ И ПРОЦЕНТЫ... 14

1.5 ПРОЦЕНТЫ И ИНФЛЯЦИЯ.. 15

1.5.1 Основные понятия. 15

1.5.2 Учет инфляции. 16

Задачи. 18

Глава 2. 20

ПОСТОЯННЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.. 20

2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 20

2.2 БУДУЩАЯ СУММА ПРЕНУМЕРАНДО И ПОСТНУМЕРАНДО БЕЗ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ СУММЫ... 21

2.2.1 Рента пренумерандо. 21

2.2.2 Рента постнумерандо. 21

2.3 УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В ОБЩЕМ ВИДЕ.. 23

2.3.1 Определение будущей суммы.. 23

2.3.2 Определение текущей суммы.. 24

2.3.3 Определение периодических выплат. 24

2.3.4 Расчет срока ренты.. 25

2.3.5 Определение размера процентной ставки. 25

2.4 РЕШЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ФИНАНСОВЫХ ФУНКЦИЙ Excel 26

2.4.2 Вызов финансовых функций. 26

2.4.3 Вычисление будущего значения. 26

2.4.4 Расчет текущей суммы.. 27

2.4.5 Определение периодических выплат. 27

2.4.6 Расчет срока ренты.. 28

2.4.7 Определение размера процентной ставки. 28

2.5 ВЫБОР БАНКА КРЕДИТОВАНИЯ И СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА 29

2.5.1 Постановка задачи. 29

2.5.2 Выбор банка кредитования. 29

2.5.3 План погашения кредита. 30

2.6 ВЫПЛАТЫ p РАЗ В ГОДУ, А НАЧИСЛЕНИЕ процентов m РАЗ В ГОДУ.. 32

2.7 ВЫБОР ИПОТЕЧНОЙ ССУДЫ... 34

Задачи. 36

Глава 3. 39

ОБЩИЙ ПОТОК ПЛАТЕЖЕЙ.. 39

3.1 ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ.. 39

3.2 РЕГУЛЯРНЫЕ НЕ ПОСТОЯННЫЕ ПЛАТЕЖИ.. 39

3.2.1 Постановка задачи. 39

3.2.2 Наращенная сумма не постоянной ренты.. 39

3.2.3 Дисконтированная сумма не постоянной ренты.. 40

3.2.4 Внутренняя норма доходности. 41

3.2.5 Дисконтный срок окупаемости инвестиционного проекта. 42

3.2.7 Сравнение эффективности двух инвестиционных проектов при платежах m раз в году 43

3.3 НЕРАВНОМЕРНЫЕ И НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ.. 46

Сумма выплат, приведенная к моменту t 0 46

3.4 БУДУЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ.. 47

Задачи. 48

Глава 4. 50

ОПЕРАЦИИ С ВЕКСЕЛЯМИ.. 50

4.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 50

4.2 ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ.. 50

4.3 УЧЕТ ВЕКСЕЛЕЙ ПО СЛОЖНОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ.. 52

4.4 ВЕКСЕЛЯ И ИНФЛЯЦИЯ.. 53

4.4.1 Простая учетная ставка и инфляция. 53

4.4.2 Сложная учетная ставка и инфляция. 54

4.5 ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕКСЕЛЕЙ.. 55

4.5.1 Определение стоимости объединенного векселя. 55

4.5.2 Определение срока погашения объединенного вектора. 56

4.5.3 Объединение векселей с учетом инфляции. 57

4.6 ЭФФЕКТИВНОСТЬ СДЕЛОК С ВЕКСЕЛЯМИ.. 58

4.6.1 Эффективность сделок по простым процентам.. 58

4.6.2 Эффективность сделок по сложным процентам.. 59

Задачи. 60

Глава 5. 62

АМОРТИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ И НЕМАТЕРИАЛЬНЫХ АКТИВОВ.. 62

5.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 62

5.2 ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ.. 62

5.3 НЕЛИНЕЙНЫЙ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИ-ДЕГРЕССИВНЫЙ МЕТОД УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ 64

5.4 ФУНКЦИИ Excel ДЛЯ РАСЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ.. 65

5.4.1 Линейный метод учета амортизации. Функции АМР. 65

5.4.2 Метод уменьшаемого остатка (геометрически - дегрессивный метод). Функция ДДОБ 66

5.5 СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО МЕТОДА УЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ С МЕТОДОМ УМЕНЬШАЕМОГО ОСТАТКА (Расчет в Excel) 66

Задачи. 68

Глава 6. 69

ЛИЗИНГ. 69

6.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 69

6.1.1 Финансовый (капитальный) лизинг. 70

6.1.2 Оперативный лизинг. 70

6.2 СХЕМА ПОГАШЕНИЯ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ПО ЛИЗИНГОВОМУ КОНТРАКТУ.. 70

6.3 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ПЕРВОЙ СХЕМЕ.. 71

6.3.1 Лизинговые платежи при линейном законе амортизации. 71

6.3.2 Лизинговые платежи с ускоренной амортизацией (метод уменьшаемого остатка) 73

6.4 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ВТОРОЙ СХЕМЕ. 74

Следовательно, доход лизинговой компании. 75

6.5 РАСЧЕТ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ ПО ВТОРОЙ СХЕМЕ С ПОМОЩЬЮ Excel 76

6.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИНАНСОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛИЗИНГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ.. 77

Задачи. 77

Список литературы.. 79

Введение

Финансовая математика является основой для банковских операций и коммерческих сделок. В предлагаемом пособии рассматривается начисление простых и сложных процентов при одноразовых платежах и потоках платежей, при постоянных и переменных рентах и ставках. Здесь излагается единый подход к решению широкого круга задач определения различных финансовых величин: будущей суммы сделки, текущей (дисконтированной) суммы, процентной ставки, выплат, срока сделки, ее эффективности и т. п. Учтено влияние инфляции на параметры финансовых операций. Формулы финансовой математики применяются в пособии для расчетов кредитных, депозитных, ипотечных операций, учетов векселей, для сравнения эффективности финансовых сделок. Чтобы были понятны операции по лизингу, в пособии излагаются различные методы учета амортизации.

Для изучения пособия достаточно знания школьной математики. Дан вывод всех формул.

По своей природе финансовые формулы, особенно для не постоянных и не равномерных платежей являются громоздкими, что затрудняет прямые расчеты по ним. Такие величины как процентная ставка или срок финансовой операции в общем случае не выражаются в явном виде. Для их определения необходимо решение нелинейного уравнения, например, методом итераций.

В Excel имеются встроенные финансовые функции, позволяющие легко вычислить все финансовые величины во многих практических случаях с помощью персонального компьютера. Поэтому в пособии подробно излагаются методы использования Excel для решения финансовых задач. Автор настоятельно рекомендует учащимся овладеть этими методами, чтобы в дальнейшем применять их в своей практической деятельности для анализа эффективности финансовых операций и работы своей фирмы.

В пособии приведено большое количество примеров, многие из которых представляют самостоятельную познавательную ценность. С целью закрепления теоретических знаний в конце каждой главы даны задачи для самостоятельной проработки.

Пособие "Финансовая математика" предназначено для заочников дистанционной формы образования, но может быть рекомендовано и студентам очной формы обучения по финансовым и экономическим специальностям. Пособие представляет практический интерес для работников банков, финансовых компаний, промышленных предприятий и коммерческих структур.

Принятая в пособии терминология может показаться непривычной для экономистов, воспитанных на книгах Е. М. Четыркина и его последователей. Например, процентная ставка обозначается у него буквой i (interest). Однако в математике буквой i принято обозначать целые величины (integer). Поэтому в пособии "Финансовая математика" введены обозначения, употребляемые в Excel и в .

Глава 1

Одноразовые платежи

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

В основе всех финансовых расчетов лежит принцип временной ценности денег . Деньги - это мера стоимости товаров и услуг. Покупательная способность денег падает по мере роста инфляции. Это означает, что денежные суммы, полученные сегодня (обозначим их PV -present value- настоящее, текущее значение), больше, ценнее тех же сумм, полученных в будущем. Для того чтобы деньги сохраняли или даже наращивали свою ценность, нужно обеспечить вложение денег, приносящее определенный доход. Принято обозначать доход буквой I (interest), на финансовом и бытовом жаргоне его называют процентом.

Существует много способов вложения (инвестиции ) денег.

Можно открыть счет в сберегательном банке, но процент должен превышать темп инфляции. Можно одолжить деньги в виде кредита с целью получения в будущем, так называемой, наращенной суммы FV (future value - будущее значение). А можно инвестировать денежные средства в производство.

Простейшей финансовой операцией является однократное предоставление или получение суммы PV с условием возврата через время t наращенной (будущей) суммы FV. Сумму, которую получает дебитор (например, мы с Вами или фирма), будем считать положительной, а ту, которую отдает кредитор (опять же мы с Вами или банк) - отрицательной.

Эффективность такой операции характеризуется темпом прироста денежных средств, отношением r (rate-отношение) дохода I к базовой величине PV, взятыми по абсолютной величине.

. (1.1)

Темп роста капитала r за время t выражают десятичной дробью или в процентах и называют процентной ставкой , нормой доходности или скоростью оборота денежныхсредств за это время.

Поскольку PV и FV имеют противоположные знаки, то настоящее и будущее значения связаны соотношением (назовем его уравнением эквивалентности)

FV+ PV (1+r)= 0, (1.2)

где r - процентная ставка за время t.

Величину К, показывающую, во сколько раз будущая сумма возросла по абсолютному значению по отношению к текущей

К= FV/ PV=(1+r), (1.3)

называют коэффициентом наращения капитала .

В расчетах, как правило, за r принимают годовую процентную ставку , ее называют номинальной ставкой.

Существуют две схемы наращения капитала:

· схема простых процентов;

· схема сложных процентов.

ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Схема простых процентов предполагает неизменность суммы, на которую происходит начисление процентов . Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях (со сроком менее периода начисления процентов) или когда проценты периодически выплачиваются и не присоединяются к основному капиталу.

Рассмотрим два вида вклада: постой и срочный.

1) По простому вкладу (деньги по такому вкладу можно снять в любой момент) за t дней будет начислено

FV+ PV (1+ r)= 0 (1.4)

где Т - число дней в году. Коэффициент наращения при этом

В зависимости от определения Т и t применяют следующие методики.

1. Точные проценты . В России, США, Великобритании и во многих других странах принято считать Т =365 в обычном году и Т =366 - в високосном, а t -число дней между датой выдачи (получения) ссуды и датой ее погашения. Дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

2. Банковский метод . В этом методе t определяется как точное число дней, а число дней в году принимается за 360. Метод дает преимущества банкам особенно при выдаче кредита на срок более 360 дней и широко используется коммерческими банками.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней . В некоторых странах, например во Франции, Бельгии, Швейцарии принимают Т =360, а t -приближенным, так как считается, что в месяце 30 дней.

2) По срочному вкладу (деньги кладутся в банк на определенный срок: полгода, год или другой) проценты начисляются через определенные периоды. Обозначим
m -число периодов в году.

m =12 - при ежемесячном начислении процентов;

m =4 - при ежеквартальном начислении;

m =2 - при начислении раз в полугодие;

m =1 - при начислении раз в год.

FV + PV (1+ )= 0 (1.5)

Коэффициент наращения

Определим наращенную сумму

По формулам (1.2)-(1.5) можно решить обратную задачу : какую первоначальную сумму PV нужно дать в долг или положить в банк, чтобы по истечении срока получить сумму FV при заданной годовой процентной ставке r.